Tänk på cirkeln.

På cirkeln, inte på cirklar: tänk inte på jordens omkrets, solskivans rand, fullmånens eller pupillens.

Tänk på ett koordinatsystem, kalla dess riktningar för x och y. I denna platta struktur har varje punkt ett namn på formen (x, y), ett tal för varje av strukturens två dimensioner.

Tänk på den mängd av punkter som uppfyller villkoret att deras x-koordinat i kvadrat, plus deras y-koordinat i kvadrat är lika med kvadraten av ett visst konstant värde, kalla det r.

X-kvadrat plus y-kvadrat är lika med r-kvadrat.

Detta är cirkeln.

Detta är åtminstone matematikens cirkel, möjlig att påträffa endast inom matematiken: Den perfekta cirkeln är ett abstrakt objekt utan fysisk manifestation. Men om vi icke desto mindre antar att den existerar, om vi väljer att låta den existera inom det formella matematiska systemets ramar, kan vi ur den utvinna kunskap också om vår fysiska värld av imperfekta cirklar.

Vad matematiken vet om världen? Inget och allt.

Matematiken är tvärsäker. Den är tvärsäker på det sätt som enbart den kan vara som väljer att bortse från verkligheten. Matematiken kan bevisa medelvärdessatsen och Taylors teorem. Naturvetenskapen kan aldrig bevisa förekomsten av rödförskjutning eller dopplereffekt. Där den naturvetenskapliga vissheten är en av erfarenhet och beräkningsarbete stärkt tro, är matematikens visshet fullständig, slutgiltig, tvivellös. Detta för att de matematiska sanningarna är kunskap om de matematiska strukturerna i sig, inte om den fysiska verkligheten utanför den.

Matematiken har med världen att göra enbart i det uppenbara avseendet att de människor som praktiserar den har med världen att göra. Men om denna värld vet de matematiska strukturerna inget; inga mätresultat eller observationer ligger till grund för det matematiska bygget. Logik, inte kvarkar och leptoner, är matematikens byggmaterial.

Men trots detta: Lägg de matematiska strukturerna sida vid sida med världen, och du skall upptäcka att deras delar svarar emot varandra. De matematiska objekt vars existens sägs vara oberoende av den fysiska verkligheten, visar sig inte bara besitta förmågan att beskriva vår omvärld och oss själva, utan också gå att nyttja för att utvinna ny fysikalisk kunskap. Relativitetsteori, kosmologi och kvantmekanik är alla matematik. Våra mest grundläggande kunskaper om tillvarons beskaffenhet är ekvationer. Matematiken tycks förmögen till och med att härbärgera insikter som inget annat mänskligt språk kan bära – flera av den moderna fysikens grundläggande matematiska samband saknar översättning till naturligt språk. Som om dessa ekvationer, dessa fullständigt abstrakta symboler, stod i en tätare, mer intim relation till världen än de talande, tänkande människor som skapat, eller upptäckt, dem.

Skapat eller upptäckt?

Matematikens forskningspraktik har av matematiker alltid liknats snarare vid upptäcktsfärd än konstruktionsarbete – vi finner de matematiska strukturerna, vi uppfinner dem inte. Möjligen uppfinner vi det språk, den matematiska formalism, i vilken de kommer till uttryck, men strukturerna själva är oberoende av vårt tänkande, större och djupare än det.

Detsamma skulle i så fall gälla de fysikens grundläggande ekvationer som är den matematiska gestaltningen av allt vi ser omkring oss, de matematiska strukturer som beskriver, eller utgör, världen.

Beskriver eller utgör?

Det har sagts att verkligheten i sina mest basala former inte har några egenskaper utöver de matematiska. Beskriv ett träd med ekvationer, och du tvingas reducera bort den absoluta merparten av det vi avser när vi säger träd. Beskriv en elektron med ekvationer och du har beskrivit den fullständigt; ingen reduktion är nödvändig eftersom det på elektronens skala inte existerar någonting att reducera bort.

Om detta är sant, att beskrivningen av världens minsta beståndsdelar kan göras fullständigt uttömmande med matematikens hjälp, vad är orsaken till detta anmärkningsvärda förhållande? Är det för att elektronen är ett i grunden teoretiskt koncept, ett fenomen som saknar mening utan den matematiska formalism som härbärgerar den? Eller är det för att världen till sitt väsen är matematisk?

Och om världen är till sitt väsen matematisk, är det möjligt för oss att finna den slutgiltiga ekvationen, den grundläggande matematiska struktur som svarar mot hela vårt universums beskaffenhet?

Hittills tycks den matematiska fysikens sanning vara kontextuell, i den bemärkelsen att varje teori är giltig inom sitt respektive område. Newtons mekanik vederlades av kvantmekaniken, men är fortfarande utmärkt användbar då man skall konstruera en bro. Kommer vi, allt eftersom vi genom acceleratorernas artificiella partikelkollisioner närmar oss verklighetens innersta, att avtäcka ytterligare regioner där också kvantmekaniken faller, och är den teori vi i så fall tvingas formulera den slutgiltiga? Om den är det, varför just den?

Oavsett om matematiken är människans beskrivning av världen, eller på ett djupgående sätt identisk med den, bär den på budskap om en verklighet större än den vi känner. Själva den matematiska apparaten tycks härbärgera möjligheten till parallella världar otillgängliga för våra sinnen: Den matematiskt intrikata strängteorin antyder ytterligare dimensioner utöver de tre rumsliga och enda tidsliga vi känner – dimensioner som tigande ligger hoprullade alldeles intill oss, större än stora och mindre än små.

Också ur den kvantmekaniska formalismen, ursprungligen tillkommen för att förklara och förutsäga det vi genom vetenskapliga experiment kan observera, går det att utvinna antydan om en mångfald av världar strax intill vår egen, närbelägna inte i det fysiska rummet, utan i en abstrakt rymd som matematikerna kallar Hilbertrum. Om vi betraktar enbart det matematiska maskineriet, inte de språkliga tolkningar som tillfogats det, stiger ur ekvationerna en verklighet som hela tiden förgrenar sig, en ständigt pågående splittring av tillvaron. Varje gång verkligheten ställs inför ett val, varje gång mer än ett skeende är möjligt, realiseras samtliga möjligheter i var sitt universum, världar som aldrig åter kommer att stråla samman.

Allt är tal, menade Pytagoras, och såg sig omgiven av månghörningar och geometriska former. Om detta är sant, om världen är matematik, är den också i grunden beskrivbar. Det som vi inte kan beskriva matematiskt – känslan inför ett nyfött barn, blicken i detta barns ögon när de öppnas för första gången – är då ändå beskrivbart i princip. Det är en enorm komplexitet som hindrar oss från att ge en fullständig beskrivning, men det är ett hinder enbart av praktisk natur.

Är det ett hinder enbart av praktisk natur?

Kanske är svaret ja, och kanske inte. Kanske är frågan meningslös: Om vi kan beskriva känslan, blicken matematiskt, vad ger oss egentligen denna beskrivning? Moderskärlek uttryckt i överföringen av kaliumatomer i hjärnans nervceller säger fortfarande ingenting om hur det är att känna denna kärlek.

Den levda erfarenheten – också den av en cirkel – saknar ekvation.

Helena Granström.

 

 

Consider the circle.

The circle, not circles: Do not think of the earth’s circumference, the sun’s outer edge, the full moon, or the eye’s pupil.

Think of a system of coordinates, call them x and y. In this flat structure, each point has an identity (x, y), a number for each of the structure’s two dimensions.

Think of the set of points that satisfy the condition that the square of its x-coordinate plus the square of its y-coordinate equals the square of a certain constant value, call it r.

The square of x plus the square of y equal the square of r.

That is the circle.

This, at least, is mathematics’ circle, possible only within mathematics: The perfect circle is an abstract object without a physical manifestation. Nevertheless, if we choose to let it exist within the formal framework of the mathematical system, we can also extract knowledge about our physical world of imperfect circles.

What does mathematics know about the world? Nothing and everything.

Mathematics is absolutely sure. It is absolutely sure in the way you can be only if you choose to disregard reality. Mathematics can prove the mean value theorem and Taylor’s theorem. Science can never prove the existence of red shift or the Doppler effect. Whereas scientific certainty is a belief strengthened by experience and calculation, mathematical certainty is complete, final, without doubt. This is so because mathematical truths are knowledge of the mathematical structures themselves, not about physical reality.

Mathematics has to do with the world only insofar as the people who practice it obviously have to do with the world. But of this world the mathematical structures know nothing; neither measurements nor observations make the foundation for the mathematical building. Logic, not quarks or leptons, is mathematics’ building material.

Nevertheless: Put the mathematical structures side by side with the world and you shall find that their parts correspond to each other. The mathematical objects, the existence of which is said to be independent of physical reality, show themselves not only to possess the ability to describe the world around us and ourselves, but also the ability to extract new knowledge. The theory of relativity, cosmology and quantum mechanics are all mathematics. Our deepest knowledge of the nature of reality is written in equations. Mathematics even seems capable of harboring insights that no other human language is able to: several fundamental mathematical correlations in modern physics lack translations into natural language. As though these equations, these completely abstract symbols, had a closer, more intimate relationship with the world than the talking, thinking people who have created, or discovered, them.

Created or discovered?

Research in mathematics has always been described by mathematicians more as exploration than construction.  We discover the mathematical structures; we do not invent them. Maybe we invent the language, the mathematical formalism, through which they are expressed, but the structures themselves are independent of our minds – bigger and deeper.

The same would then be true for the fundamental equations of physics as they are the mathematical representation of everything we see around us, the mathematical structures that describe, or constitute, the world.

Describe or constitute?

It has been said that reality in its most fundamental forms has no characteristics beyond the mathematical. Try describing a tree with equations, and you will be forced to omit most of what we mean when we say “tree.” Describe an electron with equations and you will have described it completely; no omission is necessary since, on the scale of the electron, nothing exists to omit.

If this is true, that reality’s smallest constituents can be completely and exhaustively described by mathematics, what is the reason for this remarkable circumstance? Is it because the electron at its root is a theoretical concept, a phenomenon that lacks meaning without the mathematical formalism that harbors it? Or is because the essence of the world is mathematical?

And if the world’s essence is mathematical, is it possible for us to find the ultimate equation, the fundamental mathematical structure that corresponds to the structure of the whole universe?

So far, the truth of mathematical physics seems to be contextual, in the sense that each theory is valid within it its own field. Newton’s mechanics was refuted by quantum mechanics, but is still perfectly useful when constructing a bridge. As we approach reality’s essence through the accelerator’s artificial particle collisions, will we uncover further regions where quantum mechanics also collapse, and in that case, is the theory we will be forced to articulate the final one? And if so, why this one?

Regardless of whether mathematics is man’s description of the world or in a profound way identical with it, it carries the message of a reality that is larger than we understand. The mathematical apparatus itself seems to harbor the possibility of parallel worlds inaccessible to our senses: The mathematically intricate string theory implies further dimensions beyond the three spatial and the one temporal that we know –dimensions silently rolled up close to us, larger than large and smaller than small.

Also the formalism of quantum mechanics – originally established to explain and predict that which we can observe through scientific experiments – implies a multitude of worlds close by our own, not adjacent in physical space, but in the abstract space that mathematicians call a Hilbert space. Looking exclusively at the mathematical machinery, not the linguistic interpretations added to it, from the equations there arises a constantly bifurcating reality, a continuous shattering of existence. Every time reality is faced with a choice, every time more than one passage is conceivable all possibilities are realized in separate universes, worlds that never again will converge.

Everything is numbers, said Pythagoras, and saw himself surrounded by polygons and geometric forms. If this is true, if the world is mathematics, it is also essentially describable. What we cannot describe mathematically – the sensations we feel when we see a newborn child, the gaze in the child’s eyes as they are opened for the first time – are still describable in principle. It is an enormous complexity that prevents us from giving a full explanation, but the hurdle is of a purely practical nature.

Is the hurdle of a purely practical nature?

Maybe the answer is yes, and maybe it is not. Perhaps the question is meaningless: If we can describe the feelings or the gaze mathematically, what exactly does this description contribute with? Motherly love expressed in the transmission of potassium atoms in the nerves cells of the brain still says nothing about what it is like to feel this love.

A living experience – including the experience of a circle – lacks an equation.

Helena Granström